Última actualización: 2026-11-11

Contenido de esta página

• ¿Qué son las medidas de dispersión?
• Rango, varianza y desviación estándar: qué mide cada una
• Varianza poblacional y muestral: ¿por qué se divide por n − 1?
• Coeficiente de variación: cómo comparar dispersiones de escalas distintas
• La dispersión del ingreso entre departamentos de Colombia
• Cómo calcular las medidas de dispersión en Python
• Qué medida de dispersión reportar junto al promedio

En diciembre de 1952, el teniente primero Gilbert S. Daniels firmó una nota técnica para la Fuerza Aérea de Estados Unidos. Su título era una pregunta: The “Average Man”?, es decir, ¿el «hombre promedio»? [1]. Tenía las medidas corporales de 4.063 hombres del personal de vuelo [1].

Escogió diez medidas útiles para diseñar ropa, como la estatura, el contorno del pecho y el largo de la manga [1]. Según él, otras medidas, como las de una cabina o un asiento, habrían dado resultados muy parecidos [1]. Para cada una definió un tramo «aproximadamente promedio» que reunía a cerca del 30 % del medio de la población [1].

Luego filtró. De los 4.063 hombres, 1.055 tenían una estatura aproximadamente promedio [1]. De esos, solo 302 tenían además un pecho promedio [1]. En el décimo filtro no quedó nadie [1].

Daniels resumió el hallazgo en una frase sobre el hombre promedio: «Unfortunately he doesn’t exist», por desgracia, no existe [1]. La causa, explicó, no estaba en los pilotos: era la gran variabilidad de las medidas del cuerpo, propia de todas las personas [1].

El promedio decía dónde quedaba el centro. No decía cuánto se alejaba cada persona de ese centro.

Para eso están las medidas de dispersión.

¿Qué son las medidas de dispersión?

Las medidas de dispersión son números que dicen qué tan separados están los datos entre sí o alrededor de su promedio. Las más usadas son cuatro: el rango, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación. Acompañan al promedio, no lo reemplazan. Dos grupos pueden tener la misma media y repartirse de formas muy distintas.

Forman parte de la estadística descriptiva, la rama que resume los datos que ya se tienen. El manual de estadística del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de Estados Unidos las llama un intento de estimar la variabilidad de los datos [2]. Y advierte que cada medida pesa distinto dos cosas: cuánto se separan los datos cerca del centro y cuánto se estiran los extremos [2].

El mismo promedio con dispersiones distintas

Piense en dos rutas de bus que paran en la misma esquina. Durante seis mañanas se anota cuántos minutos hubo que esperar cada una. Los datos son inventados para el ejemplo.

Mañana	1	2	3	4	5	6	Promedio
Ruta A (minutos)	8	9	10	10	11	12	10
Ruta B (minutos)	1	2	5	12	18	22	10

Las dos rutas tienen un promedio de 10 minutos. Si alguien solo le dice ese número, parecen iguales. No lo son.

Con la ruta A, salir con 12 minutos de margen alcanzó todas las mañanas. Con la ruta B, unos días el bus llegó casi de inmediato y otros hubo que esperar 22 minutos. Para quien tiene que llegar a tiempo al trabajo, la diferencia está en la dispersión, no en el promedio.

Rango, varianza y desviación estándar: qué mide cada una

El rango mide la distancia entre el dato más grande y el más pequeño. La varianza promedia las distancias al cuadrado entre cada dato y la media. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza y se lee en las mismas unidades que los datos. Esta tabla las resume con las dos rutas de bus.

Medida	Cómo se calcula, en palabras	Unidades	Ruta A	Ruta B	Su punto débil
Rango	El mayor menos el menor	Las de los datos	4 minutos	21 minutos	Solo mira los dos extremos [2]
Varianza (muestral)	Suma de las distancias al cuadrado, dividida por n − 1	Las de los datos, al cuadrado	2	76,4	Sus unidades no se leen fácil [2]
Desviación estándar (muestral)	Raíz cuadrada de la varianza	Las de los datos	1,41 minutos	8,74 minutos	Los valores extremos la inflan [2][3]
Coeficiente de variación	Desviación estándar dividida por la media	Porcentaje, sin unidades	14 %	87 %	Falla si la media está cerca de cero [4]

Fuente: cálculo propio con datos inventados, ejecutado con el módulo de estadística de Python [5].

El rango: rápido y frágil

El rango es el valor mayor menos el menor: 4 minutos en la ruta A y 21 en la B. Es la medida más fácil de calcular y de explicar. Su debilidad viene del mismo lugar.

El manual del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST, por su sigla en inglés) dice que el rango se basa solo en los dos valores extremos. La dispersión cerca del centro de los datos, añade, no queda captada en absoluto [2]. Si un día el bus de la ruta A se hubiera varado y tardado 40 minutos, el rango saltaría a 32, aunque las otras mañanas siguieran iguales.

La varianza: el promedio de las distancias al cuadrado

La varianza muestral se escribe así: s² = Σ (x − x̄)² ÷ (n − 1). Aquí x es cada dato, x̄ es la media, n es el número de datos y Σ es el signo que significa «sume». Estos son los pasos con la ruta B:

1. Calcule la media: aquí, 10 minutos.
2. Reste la media a cada dato. Ese resultado se llama desviación.
3. Eleve cada desviación al cuadrado.
4. Sume los cuadrados.
5. Divida la suma por n − 1, que en este caso es 5.

Mañana	Espera (minutos)	Desviación: espera − 10	Desviación al cuadrado
1	1	−9	81
2	2	−8	64
3	5	−5	25
4	12	2	4
5	18	8	64
6	22	12	144
Suma		0	382

La varianza es 382 ÷ 5 = 76,4 minutos al cuadrado. La columna de desviaciones suma cero, y no por casualidad: los datos que quedan por encima de la media compensan exactamente a los de abajo. Por eso no sirve promediar las desviaciones tal cual.

Elevar al cuadrado resuelve ese problema y tiene un efecto adicional. OpenIntro Statistics, un libro de texto universitario de acceso abierto, explica que el cuadrado elimina los signos negativos y hace relativamente mucho más grandes los valores grandes [3]. El NIST lo muestra con números: un punto a 2 unidades de la media suma 4 y uno a 10 unidades suma 100 [2].

La desviación estándar: la varianza de vuelta a minutos

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza: s = √s². En la ruta B da 8,74 minutos, y en la A, 1,41. Según el NIST, devuelve la dispersión a las unidades originales de los datos, porque la varianza las eleva al cuadrado [2].

Esa es su ventaja práctica. Nadie entiende «76,4 minutos al cuadrado», pero «la espera se aparta unos 9 minutos de lo normal» sí se entiende. OpenIntro lo dice así: «La desviación estándar representa la desviación típica de las observaciones respecto a la media» [3].

¿Cuándo usar cada una?

1. El rango, para un primer vistazo con pocos datos, o cuando importan justamente los extremos, como el peor día de espera.
2. La varianza, como paso intermedio de otros cálculos. OpenIntro señala que la varianza y la desviación estándar a veces son un medio para un fin: estimar la incertidumbre de un resultado calculado con una muestra [3].
3. La desviación estándar, para reportar la dispersión junto a la media, en las unidades de los datos.

La media y la desviación estándar comparten un límite: con valores muy extremos se dejan arrastrar más que la mediana [3]. Para ese caso existen las medidas de posición, como los cuartiles, los percentiles y el rango intercuartílico, y métodos propios para detectar valores atípicos. Por qué la mediana resiste mejor está en la guía de media, mediana y moda.

Varianza poblacional y muestral: ¿por qué se divide por n − 1?

Se divide por n cuando los datos son toda la población, es decir, todos los casos que interesan. Se divide por n − 1 cuando los datos son una muestra y se quiere estimar la varianza de la población. Ese ajuste se llama corrección de Bessel: existe porque dividir por n subestima la varianza en promedio.

Versión	Divide la suma de cuadrados por	Símbolos	Cuándo se usa	Ruta B
Poblacional	n	σ² y σ (sigma, letra griega) [3]	Los datos son todos los casos que interesan	σ = 7,98 minutos
Muestral	n − 1	s² y s	Los datos son una muestra y se quiere hablar de la población	s = 8,74 minutos

Fuente: cálculo propio con las funciones de la biblioteca estándar de Python [5].

La intuición: la media de la muestra queda demasiado cerca de sus datos

Para medir distancias se necesita un centro. Lo ideal sería la media verdadera de la población, pero casi nunca se conoce. Entonces se usa la media de la muestra, que por construcción queda en el medio de esos mismos datos.

Imagine que alguien lanza seis dardos y usted mide qué tan dispersos quedaron. Si mide desde el centro real de la diana, obtiene una distancia. Si mide desde el punto medio de los seis dardos, casi siempre le sale menor, porque ese punto se acomodó a ellos.

La documentación de NumPy, una biblioteca de cálculo para Python, explica el mismo mecanismo. La corrección compensa un sesgo hacia valores más bajos en la varianza estimada. Ese sesgo aparece al usar la media de la muestra en lugar de la media verdadera [6]. Dividir por n − 1 en vez de n agranda el resultado lo justo.

Lo que el n − 1 sí arregla, y lo que no

La documentación de Python dice que, con datos representativos, la varianza con corrección de Bessel debería ser una estimación insesgada de la varianza de la población [5]. Insesgada quiere decir que, si se repitiera la muestra muchas veces, el promedio de las estimaciones caería en el valor verdadero. La idea se desarrolla en la guía de estadística inferencial.

La corrección arregla la varianza, no la desviación estándar. El NIST lo dice de forma expresa: la varianza muestral es un estimador insesgado de σ², pero la desviación estándar muestral no lo es de σ [7]. Con datos de distribución normal y 10 observaciones, s estima en promedio el 97,27 % de σ [7]. NumPy coincide: la desviación corregida sigue sesgada, aunque menos que sin la corrección [6].

Lo comprobé con una simulación: 100.000 muestras de cinco números, escogidos al azar y con reposición entre el 1 y el 10.

import random
import statistics as st

random.seed(2026)
poblacion = list(range(1, 11))          # los números del 1 al 10
var_real = st.pvariance(poblacion)      # varianza de la población
de_real = st.pstdev(poblacion)          # desviación estándar de la población

con_n, con_n1, de_n1 = [], [], []
for _ in range(100_000):
    muestra = random.choices(poblacion, k=5)   # muestra de 5, con reposición
    con_n.append(st.pvariance(muestra))        # divide por n
    con_n1.append(st.variance(muestra))        # divide por n - 1
    de_n1.append(st.stdev(muestra))            # raíz de la anterior

print("Varianza real:", var_real)
print("Promedio dividiendo por n:", round(st.mean(con_n), 2))
print("Promedio dividiendo por n - 1:", round(st.mean(con_n1), 2))
print("Desviación estándar real:", round(de_real, 3))
print("Promedio de la desviación muestral:", round(st.mean(de_n1), 3))

Qué se calculó	Promedio en 100.000 muestras de 5	Valor real de la población
Varianza dividiendo por n	6,58	8,25
Varianza dividiendo por n − 1	8,23	8,25
Desviación estándar muestral (con n − 1)	2,762	2,872

Fuente: salida real del código anterior, ejecutado con Python 3.11.15 [5].

Dividir por n se quedó corto. Dividir por n − 1 casi acertó. Y la desviación estándar muestral, aun corregida, quedó por debajo de la real, como advierten el NIST y NumPy [6][7].

La diferencia pesa sobre todo con muestras pequeñas: con 1.000 datos, cambiar el divisor mueve la varianza cerca de una milésima. La regla de la documentación de Python es sencilla: para toda la población, la función poblacional; para estimar desde una muestra, la muestral suele ser la mejor opción [5].

Coeficiente de variación: cómo comparar dispersiones de escalas distintas

El coeficiente de variación (CV) es la desviación estándar dividida por la media, casi siempre en porcentaje. Dice qué tan grande es la dispersión en relación con el tamaño de los datos. Sirve para comparar la variabilidad de cosas medidas en unidades distintas o con promedios muy diferentes, donde la desviación estándar sola engaña.

El NIST lo describe como la variabilidad, medida por la desviación estándar, relativa a la media [4]. No depende de la unidad de medida, siempre que los datos estén en una escala de razón, es decir, una cuyo cero signifique «nada» [4]. Para comparar conjuntos con escalas distintas o medias muy diferentes, el NIST lo considera una alternativa o un complemento útil de la desviación estándar [4].

Con las rutas de bus, el CV es de 14 % en la A y de 87 % en la B. Si las esperas se midieran en segundos, las desviaciones estándar se multiplicarían por 60, pero los CV no cambiarían.

Cuándo no sirve el coeficiente de variación

1. Cuando la media está cerca de cero. El NIST advierte que entonces el CV se vuelve sensible a cambios pequeños en la media [4]. Con variaciones mensuales que a veces suben y a veces bajan, el CV puede dispararse sin que los datos cambien mucho.
2. Cuando el cero de la escala es arbitrario. Cero grados Celsius no significa ausencia de temperatura. El NIST pone ese ejemplo: el CV de unas temperaturas en Celsius sale distinto del CV en Fahrenheit [4]. Solo la escala Kelvin, con un cero real, es de razón [4].

Lo probé con tres temperaturas, 18, 22 y 26 grados Celsius, usando el código de la sección de Python:

Escala	Las mismas tres temperaturas	Coeficiente de variación
Celsius	18, 22 y 26	18,2 %
Fahrenheit	64,4; 71,6 y 78,8	10,1 %
Kelvin	291,15; 295,15 y 299,15	1,4 %

Son los mismos tres días. Lo único que cambió fue la escala.

Usar el CV como criterio para decidir si un grupo de datos es homogéneo o heterogéneo es otro tema, con reglas propias.

La dispersión del ingreso entre departamentos de Colombia

El DANE (Departamento Administrativo Nacional de Estadística, la entidad que produce las cifras oficiales del país) publica el ingreso promedio por persona de 23 departamentos y Bogotá [8]. Con esas cifras se puede medir cuánto se separan los territorios entre sí. La desviación estándar sube en pesos año tras año; el coeficiente de variación muestra que, entre 2022 y 2025, la distancia relativa apenas cambió.

Las cifras vienen del anexo con que el DANE publica la pobreza monetaria, es decir, la medición de quién vive con menos de lo que cuesta una canasta básica [8][9]. Salen de la Gran Encuesta Integrada de Hogares (GEIH), la encuesta con que el DANE mide empleo e ingresos [9]. El dato es el ingreso corriente del hogar dividido por sus integrantes, sin contar a pensionistas ni al servicio doméstico [9].

Las cifras están en pesos corrientes, es decir, sin descontar la subida de los precios [8]. Usé la versión poblacional porque los 24 territorios son todos los que trae el cuadro, no una muestra de otros.

Indicador entre los 24 territorios	2022	2025
Promedio simple del ingreso por persona (pesos al mes)	734.216	1.011.037
Territorio con el ingreso más alto	Bogotá: 1.653.295	Bogotá: 2.297.080
Territorio con el ingreso más bajo	La Guajira: 361.032	Chocó: 461.281
Rango (pesos al mes)	1.292.263	1.835.799
Desviación estándar poblacional (pesos al mes)	277.410	396.097
Coeficiente de variación	37,8 %	39,2 %

Fuente: DANE, anexo departamental de pobreza monetaria 2025, ingreso per cápita de la unidad de gasto [8]. Promedio simple, rango, desviación estándar y CV: cálculo propio.

Cómo leer la tabla

Entre 2022 y 2025, la desviación estándar entre territorios subió un 43 %. Leída sola, parecería que los departamentos se alejaron mucho entre sí.

Pero el promedio de los 24 también subió, un 38 %. El coeficiente de variación corrige ese efecto de escala: pasó de 37,8 % a 39,2 %, poco más de un punto. En los dos años, la desviación estándar equivale a casi dos quintas partes del promedio.

No me atrevo a leer esos 1,4 puntos como un cambio real. Cada promedio departamental es una estimación hecha con una muestra, con su propio margen de error. Lo que sí deja claro la tabla es la escala: en 2025, el ingreso por persona de Bogotá fue casi cinco veces el de Chocó.

Tres precauciones antes de comparar

1. Es dispersión entre promedios de territorios, no entre personas. Dentro de cada departamento los ingresos de los hogares también varían, y este cálculo no lo ve. Para la desigualdad entre personas, el DANE publica el coeficiente de Gini, que va de cero (igualdad absoluta) a uno (desigualdad absoluta) [8].
2. Cada territorio pesa lo mismo. Bogotá y Chocó cuentan una vez cada uno, aunque el mismo anexo les asigne poblaciones distintas [8]. Es un promedio simple, no ponderado.
3. La cobertura no es todo el país. El cuadro excluye a Amazonas, Arauca, Casanare, Guainía, Guaviare, Putumayo, Vaupés, Vichada y San Andrés [8]. Y empecé en 2022 porque el DANE advierte que 2021 sale de otro marco de muestra [8].

El otro «coeficiente de variación» del DANE

En el mismo anexo, al lado de cada cifra de pobreza, aparece una columna llamada «Coeficiente de Variación (%)». Por ejemplo, la pobreza monetaria de Antioquia en 2025 fue de 19,2 %, con un coeficiente de variación de 4,5 % [8]. Ese número no mide la dispersión de los ingresos.

La nota del propio anexo lo aclara: «Los coeficientes de variación estimados -CVE- permiten evaluar la precisión de las estimaciones» [8]. El cuadro trae también el error estándar de cada cifra, que mide cuánto podría cambiar si la encuesta se repitiera con otra muestra. Para Antioquia es de 0,85 puntos [8].

La cuenta cuadra: 0,85 dividido por 19,2 da cerca de 4,4 %, y la diferencia con el 4,5 % publicado viene probablemente del redondeo. Es un error relativo, no una dispersión entre personas. Dice qué tan precisa es la cifra de Antioquia, no qué tan desiguales son los ingresos de los antioqueños. Se llaman igual, y por eso es fácil confundirlos.

Cómo calcular las medidas de dispersión en Python

Python trae un módulo llamado statistics, incluido en el lenguaje, que calcula la varianza y la desviación estándar en sus dos versiones [5]. Este código calcula las medidas de las dos rutas y repite la prueba de las temperaturas:

import statistics as st

# Minutos de espera del bus en seis mañanas (datos inventados)
ruta_a = [8, 9, 10, 10, 11, 12]
ruta_b = [1, 2, 5, 12, 18, 22]

for nombre, datos in [("Ruta A", ruta_a), ("Ruta B", ruta_b)]:
    media = st.mean(datos)
    rango = max(datos) - min(datos)
    varianza = st.variance(datos)   # muestral: divide por n - 1
    de = st.stdev(datos)            # desviación estándar muestral
    de_pob = st.pstdev(datos)       # poblacional: divide por n
    cv = de / media                 # coeficiente de variación
    print(nombre, "| media:", media, "| rango:", rango,
          "| varianza:", round(varianza, 1), "| DE:", round(de, 2),
          "| DE poblacional:", round(de_pob, 2), "| CV:", f"{cv:.0%}")

# El CV cambia con la escala si el cero es arbitrario
celsius = [18, 22, 26]
fahrenheit = [c * 9 / 5 + 32 for c in celsius]
kelvin = [c + 273.15 for c in celsius]
for nombre, t in [("°C", celsius), ("°F", fahrenheit), ("K", kelvin)]:
    print(nombre, "| CV:", f"{st.stdev(t) / st.mean(t):.1%}")

La salida, con Python 3.11.15, es esta:

Ruta A | media: 10 | rango: 4 | varianza: 2 | DE: 1.41 | DE poblacional: 1.29 | CV: 14%
Ruta B | media: 10 | rango: 21 | varianza: 76.4 | DE: 8.74 | DE poblacional: 7.98 | CV: 87%
°C | CV: 18.2%
°F | CV: 10.1%
K | CV: 1.4%

Ojo con las herramientas que usan otra versión por defecto. En pandas 3.1.1, la biblioteca de tablas de Python, el método .std() divide por n − 1 si no se le indica otra cosa [10]. En NumPy 2.5, np.std divide por n [6]. Cómo manejar esa diferencia en el trabajo diario está en la guía de Python para análisis de datos.

En Excel para Microsoft 365, DESVEST.M calcula la desviación de una muestra con el método «n-1», y DESVEST.P es la de la población total [11]. Cómo montar esos cálculos en una hoja está en la guía de Excel para análisis de datos.

Qué medida de dispersión reportar junto al promedio

Daniels no propuso un promedio mejor. Explicaba que los datos de su laboratorio describían cada medida más allá del promedio y permitían escoger un rango adecuado para diseñar [1]. Apuntaba a la variedad real de los cuerpos, no a un cuerpo de referencia.

Aquí tomo partido, como criterio de trabajo y no como norma: un promedio publicado sin una medida de dispersión es media noticia. Con pocos datos, basta el rango. Con muchos, la desviación estándar, aclarando si es muestral o poblacional. Y para comparar escalas distintas, el coeficiente de variación, siempre que la escala tenga un cero real.

Cuando se diseña con el promedio, quedan por fuera los de los extremos. El piloto muy alto. La persona de la ruta B que esperó 22 minutos. El departamento que recibe por persona cerca de la quinta parte que Bogotá.

¿Su informe dice cuánto se alejan los datos del promedio, o solo dónde queda el centro?

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre varianza y desviación estándar? La varianza queda en unidades al cuadrado: si los datos son pesos, la varianza está en pesos al cuadrado, algo que no se lee de forma directa [2]. La desviación estándar es su raíz y vuelve a pesos. Llevan la misma información, pero la que se reporta es la desviación, porque se compara con los datos y con la media.

¿Qué indica una desviación estándar alta? Que los datos están muy separados de su promedio. Pero «alta» depende de la escala: 50.000 pesos de desviación es enorme en el precio de un almuerzo y poco en el de un carro. Para juzgarla conviene dividirla por la media, que es justo lo que hace el coeficiente de variación [4].

¿Cuándo se usa n y cuándo n − 1 al calcular la varianza? Se usa n cuando se tienen todos los casos que interesan y solo se quiere describirlos, como las notas de los 30 estudiantes de un curso. Se usa n − 1 cuando esos datos son una muestra y se quiere estimar la varianza de un grupo más grande, como todos los estudiantes del colegio [5].

¿La desviación estándar puede ser negativa? No. Es la raíz cuadrada de una suma de cuadrados dividida por un número positivo, y esa suma nunca baja de cero. Vale cero solo si todos los datos son iguales, es decir, si no hay ninguna dispersión.

¿Para qué sirve el rango si es tan sencillo? Para tener una idea inmediata de la amplitud de los datos y vigilar los extremos, como la espera más larga o la temperatura más baja del mes. Como ignora todo lo que pasa entre el mínimo y el máximo, no conviene usarlo solo cuando hay muchos datos [2].

Referencias

Las citas en otro idioma son traducción propia.

1. Gilbert S. Daniels (primer teniente, científico del proyecto «USAF Personnel Body Anthropometry»). The “Average Man”?, nota técnica 53-7, Wright Air Development Center, Fuerza Aérea de los Estados Unidos, diciembre de 1952, registro DTIC AD010203 — datos de la encuesta antropométrica de la Fuerza Aérea de 1950, con más de 4.000 hombres del personal de vuelo; diez medidas útiles para el diseño de ropa (según el autor, otras como las de cabina o asiento habrían dado resultados muy parecidos); para cada medida, un tramo «approximately average» que reúne cerca del 30 % central de la población; eliminación paso a paso sobre la muestra de 4063 hombres: 1055 de estatura aproximadamente promedio, 302 también con contorno de pecho promedio, 143 con largo de manga promedio… y ninguno al cabo de los 10 pasos; sobre el hombre promedio: «Unfortunately he doesn’t exist»; la dificultad no se debe a rasgos propios de ese grupo sino a la gran variabilidad de las dimensiones corporales de todas las personas; los datos de la sección de antropología permiten describir cada medida más allá del promedio y escoger un rango adecuado para el diseño. Leído en el PDF escaneado con pdftotext: el reconocimiento de texto trae errores, así que solo se entrecomillan frases que salen limpias, y las cifras se cotejaron en las dos copias del pasaje que trae el escaneo. Archivo de Internet: copia del PDF del DTIC AD0010203 — Consultada: 2026-11-11.
2. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.5.6 Measures of Scale — «A fundamental task in many statistical analyses is to characterize the spread, or variability, of a data set»; dos componentes: cuán dispersos están los datos cerca del centro y cuán dispersas las colas; varianza como «roughly the arithmetic average of the squared distance from the mean», con el ejemplo de un punto a 2 unidades que suma 4 y uno a 10 que suma 100; la varianza «can be greatly affected by the tail behavior»; la desviación estándar «restores the units of the spread to the original data units (the variance squares the units)»; el rango «is based only on the lowest and highest extreme values in the sample. The spread near the center of the data is not captured at all». NIST: Measures of Scale, §1.3.5.6 — Consultada: 2026-11-11.
3. David Diez, Mine Çetinkaya-Rundel y Christopher D. Barr. OpenIntro Statistics, cuarta edición, §2.1.4 Variance and standard deviation y §2.1.6 — la desviación estándar «roughly describes how far away the typical observation is from the mean»; «We divide by n – 1, rather than dividing by n, when computing a sample’s variance»; elevar al cuadrado «makes large values relatively much larger» y «gets rid of any negative signs»; «The standard deviation represents the typical deviation of observations from the mean»; símbolos σ² y σ para la población; la varianza y la desviación estándar «are sometimes used as a means to an end», estimar la incertidumbre de un estadístico de muestra; la media y la desviación estándar «are more heavily influenced» por las observaciones extremas que la mediana y el rango intercuartílico. Leído en el PDF oficial para lector de pantalla con pdftotext. OpenIntro: OpenIntro Statistics — Consultada: 2026-11-11.
4. NIST. Dataplot Reference Manual, COEFFICIENT OF VARIATION — el CV es «the ratio of the standard deviation to the mean» y «shows the variability, as defined by the standard deviation, relative to the mean»; «should typically only be used for data measured on a ratio scale»; ejemplo de temperaturas: Kelvin es escala de razón, Celsius y Fahrenheit son de intervalo, y el CV en Celsius «will be different than the coefficient of variation on the Farenheit scale»; es independiente de la unidad «as long as it is a ratio scale»; con escalas distintas o medias muy diferentes «can be a useful alternative or complement to the standard deviation»; «if the mean value is near zero, the coefficient of variation is sensitive to small changes in the mean». NIST: Dataplot, coeficiente de variación — Consultada: 2026-11-11.
5. Python Software Foundation. statistics — Mathematical statistics functions, documentación de Python 3.11 — pvariance: «Use this function to calculate the variance from the entire population. To estimate the variance from a sample, the variance() function is usually a better choice»; variance: «This is the sample variance s² with Bessel’s correction, also known as variance with N-1 degrees of freedom. Provided that the data points are representative (e.g. independent and identically distributed), the result should be an unbiased estimate of the true population variance»; stdev y pstdev como raíces de cada varianza. El código de esta página se ejecutó con Python 3.11.15. Python 3.11: módulo statistics — Consultada: 2026-11-11.
6. NumPy Developers. numpy.std, NumPy v2.5 Manual — firma con ddof=0: «By default ddof is zero»; con ddof=0 el resultado «is sometimes called the “population standard deviation”»; la corrección de Bessel «corrects for bias (toward lower values) in the variance estimate introduced when the sample mean of a is used in place of the true mean of the population. The resulting estimate of the standard deviation is still biased, but less than it would have been without the correction». NumPy: numpy.std — Consultada: 2026-11-11.
7. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, §6.3.2 What are Variables Control Charts? — «an unbiased estimator of σ² is the sample variance»; «However, s, the sample standard deviation, is not an unbiased estimator of σ»; si la distribución es normal, s estima c4·σ, con c4 dependiente del tamaño de muestra; el factor c4 para n = 10 «is 0.9727». NIST: Variables Control Charts, §6.3.2 — Consultada: 2026-11-11.
8. Departamento Administrativo Nacional de Estadística (DANE). Anexo de pobreza monetaria y desigualdad departamental 2025, publicado el 12 de agosto de 2026 — hoja «Ingpc Act.Met.»: ingreso per cápita de la unidad de gasto, total nacional, 23 departamentos y Bogotá D.C., 2021-2025, cifras en pesos corrientes, fuente GEIH (Bogotá 1.653.295 en 2022 y 2.297.080 en 2025; La Guajira 361.032 en 2022; Chocó 461.281 en 2025); nota: 2021 con muestra del marco del Censo 2005 y factor de empalme, 2022-2025 con marco del CNPV 2018; hoja «IC_IP Act.Met.»: Antioquia 2025, incidencia 19,2 y coeficiente de variación 4,5 %, con la nota «Los coeficientes de variación estimados -CVE- permiten evaluar la precisión de las estimaciones»; ficha metodológica: cobertura que excluye Amazonas, Arauca, Casanare, Guainía, Guaviare, Putumayo, Vaupés, Vichada y San Andrés, y Gini con valores «entre cero y uno, donde cero representan igualdad absoluta y uno desigualdad absoluta». Promedio simple, rango, desviación estándar y CV de los 24 territorios: cálculo propio con Python. DANE: anexo departamental de pobreza monetaria 2025 — Consultada: 2026-11-11.
9. Departamento Administrativo Nacional de Estadística (DANE). Boletín técnico Pobreza monetaria en Colombia, año 2025, 12 de junio de 2026 — la medición parte del «ingreso per cápita corriente de la unidad de gasto (UG), es decir, el ingreso corriente de la unidad de gasto dividido por el total de integrantes de esta»; «la unidad de gasto excluye pensionistas y empleados(as) domésticos(os) del hogar»; la GEIH permite medir indicadores del mercado laboral, de la pobreza monetaria y de la desigualdad de ingresos. Leído con pdftotext. DANE: Boletín técnico Pobreza monetaria 2025 — Consultada: 2026-11-11.
10. pandas development team. pandas.DataFrame.std, documentación de pandas 3.1.1 — firma con ddof=1; «Return sample standard deviation over requested axis. Normalized by N-1 by default. This can be changed using the ddof argument». pandas: DataFrame.std — Consultada: 2026-11-11.
11. Microsoft. Función DESVEST.M, soporte de Microsoft (se aplica a Excel para Microsoft 365, Excel 2024, 2021, 2019 y 2016) — «Calcula la desviación estándar a partir de una muestra»; «Si los datos representan la población total, use DESVEST.P para calcular la desviación estándar. La desviación estándar se calcula con el método “n-1″». Microsoft: función DESVEST.M — Consultada: 2026-11-11.

Cómo investigamos esta página

• Pregunta que responde: Qué son el rango, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación, y por qué la varianza muestral divide por n − 1.
• Fuentes: identificadas 17 → incluidas 11
• Criterios de inclusión: manuales del NIST, un libro de texto abierto, documentación oficial de Python, NumPy, pandas y Excel, un informe técnico de 1952 y cifras del DANE.
• Fecha de corte de los datos: 2026-11-11